- ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ. ΑΠΛΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΕ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

 Το γεγονός ότι οι αρχαίοι Έλληνες είχαν κατορθώσει συνδυάζοντας λογική και φαντασία να βάλουν τα θεμέλια σε όλες σχεδόν τις επιστήμες, είναι παγκόσμια γνωστό.

Ειδικότερα στον τομέα της Αστρονομίας είναι εκπληκτικές οι μετρήσεις που έκαναν για τα μεγέθη και τις αποστάσεις των πιο σημαντικών ουράνιων σωμάτων της εποχής τους, της Γης του Ήλιου και της Σελήνης, με απλούστατα μέσα, στοιχειώδεις γνώσεις γεωμετρίας και χρησιμοποιώντας ουσιαστικά το φώς και τη σκιά.

Ήδη, οι Έλληνες αστρονόμοι εκείνης της εποχής δέχονταν ότι το σχήμα των ουράνιων σωμάτων ήταν σφαιρικό και ότι ο Ήλιος ήταν το μόνο αυτόφωτο σώμα μεταξύ της Γης, του Ήλιου και της Σελήνης.

Επίσης, ο Θαλής ο Μιλήσιος τον 6^ο πΧ αιώνα είχε προσδιορίσει τις ιδιότητες των όμοιων τριγώνων και του σχηματισμού ίσων γωνιών στις τομές παράλληλων ευθειών, και χρησιμοποιώντας αυτές τις γνώσεις είχε υπολογίσει το ύψος των πυραμίδων της Αιγύπτου από τη σκιά τους.

Γνωρίζοντας επίσης ότι η Σελήνη βρίσκεται κοντύτερα στη Γη απ’ ότι ο Ήλιος και ότι οι τροχιές τους διαγράφονται σχεδόν στο ίδιο επίπεδο, είχε προβλέψει την ολική έκλειψη Ηλίου του 585 πΧ.

Η μέθοδος του Θαλή για τον προσδιορισμό του ύψους των πυραμίδων. Το τρίγωνο που σχηματίζεται από το ύψος της πυραμίδας και της σκιάς της, και το αντίστοιχο τρίγωνο της ράβδου και της σκιάς της είναι όμοια, οπότε το ύψος της πυραμίδας προσδιορίζεται με στοιχειώδη γεωμετρία.

H μέθοδος του Πυθέα από τη Μασσαλία (350 – 285 πΧ), για τον προσδιορισμό του γεωγραφικού πλάτους της Μασσαλίας (περίπου 43 μοίρες), χρησιμοποιώντας την σκιά ενός οβελίσκου στη πόλη. Ο λόγος των δύο κάθετων πλευρών του τριγώνου που σχηματίζεται από τη σκιά του οβελίσκου και τον ίδιο, προσδιορίζει την εφαπτομένη της γωνίας στην κορυφή του οβελίσκου. Η γωνία αυτή είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζεται μεταξύ της ευθείας από το κέντρο της Γης προς τον Ισημερινό και αυτής από το κέντρο της Γης προς τον οβελίσκο (που προσδιορίζει και το γεωγραφικό πλάτος), εφόσον η μέτρηση γίνει το μεσημέρι μιας Ισημερίας, οπότε ο άξονας της Γης είναι κάθετος προς την ευθεία «κέντρο Γης – Ισημερινός» και ο Ήλιος βρίσκεται στην προέκταση της ευθείας αυτής.

Η κίνηση της σκιάς σ’ ένα  ηλιακό ρολόι στο βόρειο ημισφαίριο, καθόρισε και τη φορά περιστροφής των δεικτών και των πολύ μεταγενέστερων μηχανικών ρολογιών.

Οι υπολογισμοί του Αρίσταρχου.

Ο πρώτος που έκανε υπολογισμούς αστρονομικών μεγεθών ήταν ο Αρίσταρχος ο Σάμιος (310 – 230 πΧ), ο οποίος υπολόγισε το μέγεθος της Σελήνης σε σχέση με αυτό της Γης, και την απόσταση της Γης - Ήλιου σε σχέση με την απόσταση Γης – Σελήνης.

Για τον πρώτο υπολογισμό αξιοποίησε μια ολική έκλειψη Σελήνης και σημείωσε τη διάρκεια κατά την οποία η Σελήνη παρέμενε τελείως μέσα στην Σκιά της Γης.

Εδώ να επισημανθεί ότι η κατανόηση και μόνο του γεγονότος ότι η αιτία της έκλειψης της Σελήνης οφείλεται στη διέλευσή της μέσα από τη σκιά της Γης, ήταν ήδη ένας εξαιρετικά προχωρημένος συλλογισμός.

Ο Αρίσταρχος σημείωσε επίσης και τον χρόνο που η Σελήνη χρειάζονταν για να καλύψει στον ουρανό απόσταση ίση με τη διάμετρό της.

Κανονικά ο Αρίσταρχος έπρεπε να λάβει υπόψη του και την κωνικότητα της σκιάς της Γης, εξαιτίας του μεγαλύτερου μεγέθους του Ήλιου. Επειδή όμως ο Ήλιος βρίσκεται πολύ μακρύτερα σε σχέση με τη Σελήνη, το σφάλμα δεν είναι σημαντικό.

Η εξήγηση της μεθόδου του Αρίσταχου για τη μέτρηση του μεγέθους της Σελήνης σε σχέση με τη Γη, σε χειρόγραφο του 10^ου αιώνα.

Ο λόγος των παραπάνω χρονικών διαστημάτων, δηλαδή της διάρκειας διέλευσης της Σελήνης μέσα από τη σκιά της Γης σε σχέση με την κάλυψη μιας διαμέτρου της, δίνει τον λόγο διαμέτρου Γης προς διάμετρο Σελήνης, ο οποίος βρέθηκε να είναι περίπου 2.5.

Όμως, ο υπολογισμός της διαμέτρου της Γης από τον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο (276 – 194 πΧ) απείχε ακόμα αρκετά χρόνια, οπότε το απόλυτο μέγεθος της Σελήνης δεν μπορούσε να προσδιοριστεί, αλλά η παρατήρηση του Αρίσταρχου προσδιόρισε ότι η Σελήνη ήταν αρκετά μικρότερη και συγκεκριμένα δυόμιση φορές, από τη Γη.

Ο Αρίσταρχος επίσης υπολόγισε την απόσταση Γης – Ήλιου, έχοντας κατανοήσει πού οφείλονται οι φάσεις της Σελήνης.

Έτσι, ήξερε ότι όταν η Σελήνη βρίσκεται στο πρώτο ή στο τελευταίο (τρίτο) τέταρτό της (δηλαδή από τη Γη φαίνεται να φωτίζεται ακριβώς η μισή), ο Ήλιος βρίσκεται ακριβώς απέναντι από το φωτισμένο ημισφαίριό της.

Αν λοιπόν η Σελήνη τυχαίνει να είναι με αυτές τις συνθήκες ορατή στον ουρανό κατά τη διάρκεια της ημέρας, μπορούμε να μετρήσουμε τη γωνία που σχηματίζεται από τον παρατηρητή (δηλαδή τη Γη) σε σχέση με τη Σελήνη και τον Ήλιο.

Η γωνία αυτή είναι σχεδόν ορθή, αλλά είναι η πολύ μικρή απόκλισή της από την ορθή γωνία που μας επιτρέπει να σχηματίσουμε ένα πολύ μακρύ τρίγωνο και να προσδιορίσουμε την απόσταση του Ήλιου από τη Γη, σε σχέση με την απόσταση Γης – Σελήνης.

Η γωνία με την οποία ένας παρατηρητής από τη Γη βλέπει τη Σελήνη και τον ‘Ηλιο είναι σχεδόν 90 μοίρες και η ακρίβεια της μέτρησής της επηρεάζει σημαντικά τον υπολογισμό της απόστασης Γης – Ήλιου. Προφανώς αν η γωνία αυτή ήταν ακριβώς 90 μοίρες, η απόσταση του Ήλιου θα έπρεπε να είναι (θεωρητικά) άπειρη. Εννοείται ότι το παραπάνω σχέδιο είναι παραστατικό και τελείως εκτός κλίμακας.

Βέβαια, η ακρίβεια της μέτρησης της απόστασης Γης – Ήλιου εξαρτάται πάρα πολύ από την ακρίβεια μέτρησης της παραπάνω γωνίας που την εποχή του Αρίσταρχου μετρήθηκε σε 87 μοίρες, ενώ το σωστό είναι 89 μοίρες και 40 πρώτα λεπτά.

Οπότε ο Αρίσταρχος έκανε μεν σημαντικό λάθος στη εκτίμηση της απόστασης Γης – Ήλιου, αλλά τουλάχιστον διαπίστωσε ότι ο Ήλιος βρίσκεται πολύ μακρύτερα από τη Γη, σε σύγκριση με τη Σελήνη.

Και καθώς τα φαινομενικά μεγέθη Σελήνης και Ήλιου από τη Γη είναι ουσιαστικά τα ίδια, συμπέρανε σωστά ότι ο Ήλιος είναι πολύ μεγαλύτερος από τη Σελήνη (και συνεπώς και από τη Γη) και γι’ αυτόν προφανώς τον λόγο ήταν ο πρώτος που υποστήριξε το Ηλιοκεντρικό Σύστημα.

Οι υπολογισμοί του Ερατοσθένη.

Μερικά χρόνια αργότερα από τις παρατηρήσεις αυτές του Αρίσταρχου, ο Ερατοσθένης, διευθυντής ήδη της φημισμένης βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, ήλθε να συμπληρώσει το παζλ των μετρήσεων υπολογίζοντας την περίμετρο της Γης σ' έναν μεσημβρινό, οπότε όλες οι προηγούμενες μετρήσεις του Αρίσταχου θα μπορούσαν πλέον να πάρουν συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές, αντί να είναι μόνο συγκριτικές.

Ο Κόσμος, κατά τον Ερατοσθένη.

Ο Ερατοσθένης έκανε τη διάσημη μέτρησή του με έναν ιδιαίτερα ευφυή τρόπο, εκμεταλευόμενος την πληροφορία ότι το μεσημέρι του Θερινού Ηλιοστασίου (21 Ιουνίου), σ’ ένα πηγάδι στην πόλη Συήνη στο σημερινό Ασουάν, ο ήλιος αντατανακλάτο στο νερό στον πυθμένα του πηγαδιού, άρα βρίσκονταν ακριβώς από επάνω του (στο ζενίθ του τόπου).

Ο Ερατοσθένης λοιπόν, το μεσημέρι ενός Θερινού Ηλιοστασίου μέτρησε στην Αλεξάνδρεια το μήκος της σκιάς ενός οβελίσκου που γνώριζε ήδη το ύψος του.

Έβαλε επίσης να μετρήσουν την απόσταση Αλεξάνδρειας – Συήνης, που κατά ευτυχή σύμπτωση βρίσκονταν σχεδόν επάνω στον ίδιο μεσημβρινό και που βρέθηκε να είναι 4.900 στάδια.

Έτσι λοιπόν ο Ερατοσθένης από τον οβελίσκο και τη σκιά του υπολόγισε τη γωνία της σκιάς στην κορυφή του οβελίσκου που βρέθηκε περίπου 7.2 μοίρες, η οποία είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζεται από τις «ακτίνες» που ξεκινούν από το κέντρο της Γης και φτάνουν στην Αλεξάνδρεια και τη Συήνη αντίστοιχα.

Αφού λοιπόν γωνία 7.2 μοιρών αντιστοιχεί σε 4.900 στάδια επάνω σ’ έναν μεσημβρινό της Γης, μια γωνία 360 μοιρών (το σύνολο της περιφέρειας ενός μεσημβρινού), σε πόσα στάδια αντιστοιχεί?

Η εφαρμογή της «απλής μεθόδου των τριών» δίνει αποτέλεσμα 245.000 στάδια, και αν λάβουμε υπόψη ότι το κάθε στάδιο αντιστοιχεί σε 0.16 χιλιόμετρα το αποτέλεσμα είναι 39.200 χιλιόμετρα, πολύ κοντά στον σημερινό παραδεκτό αριθμό των 40.000 χιλιομέτρων.

Η διάσημη μέτρηση του Ερατοσθένη. Η σύμπτωση της καθετότητας του Ήλιου το μεσημέρι του Θερινού Ηλιοστασίου στην περιοχή της Συήνης, η σύμπτωση τού να βρίσκονται Αλεξάνδρεια και Συήνη σχεδόν επάνω στον ίδιο μεσημβρινό και η πεποίθησή του για τη σφαιρικότητα της Γης, συνδυάστηκαν σε μία εξαιρετικά απλή αλλά και ιδιοφυή λύση για τη μέτρηση της περιμέτρου ενός μεσημβρινού.

Βέβαια εύκολα θα μπορούσε να παρατηρήσει κάποιος σήμερα, ότι η σύμπτωση της Συήνης δεν ήταν απαραίτητη. Οποιοδήποτε άλλη περιοχή επάνω στην μεσημβρινό της Αλεξάνδρειας θα ήταν κατάλληλη, με την προϋπόθεση ότι η απόστασή της θα ήταν αρκετά μεγάλη και γνωστή και ότι οι γωνίες δύο σκιών, μία στην Αλεξάνδρεια και μία στην άλλη περιοχή θα μετριώταν ταυτόχρονα.

Ποσοτικοποίηση των μετρήσεων του Αρίσταρχου.

Γνωρίζοντας λοιπόν τη διάμετρο της Γης, η διάμετρος της Σελήνης μπορούσε πλέον να υπολογιστεί με ακρίβεια (αφού είχε βρεθεί από τον Αρίσταρχο ότι είναι 2.5 φορές μικρότερη), το ίδιο και η απόσταση Γης – Σελήνης, από τα όμοια τρίγωνα που σχηματίζονται, αν χρησιμοποιήσουμε ένα στρογγυλό αντικείμενο (πχ ένα νόμισμα) και το τοποθετήσουμε εμπρός μας σε τέτοια απόσταση, ώστε να μας κρύβει ακριβώς τη Σελήνη.

Τότε ο λόγος: διάμετρος Σελήνης / απόσταση ματιού - Σελήνης, θα είναι ίσος με τον λόγο: διάμετρος αντικειμένου / απόσταση ματιού – αντικειμένου.

Σ’ αυτή την απλή ισότητα, ο μόνος άγνωστος είναι η απόσταση ματιού – Σελήνης, και αν κάνουμε προσεκτικά τις μετρήσεις μας θα πρέπει να βρούμε ένα νούμερο κοντά στα 400.000 χιλιόμετρα.

 

Πώς μπορεί να υπολογιστεί η απόσταση Γης – Σελήνης από μια απλή αναλογία, εφόσον έχει ήδη προσδιοριστεί η διάμετρος της Σελήνης.

Στη συνέχεια μπορούμε να προσδιορίσουμε την απόσταση Γης – Ήλιου, αφού ο Αρίσταρχος την προσδιόρισε σαν πολλαπλάσιο της απόστασης Γης – Σελήνης,  αν και όπως προαναφέρθηκε έκανε σημαντικό λάθος εξαιτίας της αδυναμίας του να προσδιορίσει με ακρίβεια τη γωνία Σελήνης - Γης - Ήλιου.

Για την Ιστορία, ο Αρίσταρχος προσδιόρισε την απόσταση Γης - Ήλιου σαν 20πλάσια της απόστασης Γης – Σελήνης, ενώ στην πραγματικότητα είναι 390 φορές μεγαλύτερη, δηλαδή 150.000.000 χιλιόμετρα.

Έχοντας λοιπόν προσδιοριστεί η απόσταση Γης – Ήλιου, δε μένει παρά να προσδιοριστεί και η διάμετρος του Ήλιου, και για αυτό θα χρησιμοποιήσουμε την αναλογία των αποστάσεων και διαμέτρων, όπως στην περίπτωση του προσδιορισμού της απόστασης της Σελήνης.

Μόνο που τώρα ψάχνουμε τη διάμετρο του Ήλιου, και ο τύπος των όμοιων τριγώνων θα πρέπει να γραφεί:

Λόγος: διάμετρος Ήλιου / απόσταση ματιού - Ήλιου, ίσος με τον λόγο: διάμετρος αντικειμένου / απόσταση ματιού – αντικειμένου.

Μάλιστα, δεν χρειάζεται καν να επαναλάβουμε την προηγούμενη πειραματική διάταξη, καθώς η φαινομένη διάμετρος του Ήλιου είναι ίδια με αυτή της Σελήνης και έτσι αποφεύγουμε να κοιτάξουμε προς τον Ήλιο, κάτι που είναι ΠΟΛΥ ΕΠΙΚΙΝΔΥΝΟ για τα μάτια.

Τώρα λοιπόν έχουμε σαν μοναδικό άγνωστο στην ισότητα τη διάμετρο του Ήλιου, και αν κάνουμε σωστά τους υπολογισμούς μας θα πρέπει να καταλήξουμε σε 1.390.000 χιλιόμετρα.

Πίνακας που δείχνει τους υπολογισμούς των αρχαίων για τα μεγέθη και αποστάσεις Γης, Ήλιου, Σελήνης (αριστερά), σε σύγκριση με τις σύγχρονες μετρήσεις (δεξιά).

Κάποιες από τις παραπάνω μετρήσεις τις επανέλαβε, βελτιώνοντας την ακρίβειά τους ο Ίππαρχος (190 – 120 πΧ), ο οποίος θεωρείται και ο πατέρας της Αστρονομίας.

Με αυτόν λοιπόν τον εξαιρετικό συνδυασμό ευρηματικότητας, φαντασίας και λογικής των αρχαίων Ελλήνων που μπορεί να μας εντυπωσιάζει ακόμα και σήμερα, έγιναν οι πρώτες επιστημονικές μετρήσεις για τα τρία πιο σημαντικά ουράνια σώματα στη ζωή των ανθρώπων.

Γ. Μεταξάς